Das folgende Bild zeigt einen Schaltplan, mit dem gedämpfte Schwingungen erzeugt werden können.
An einer Parallelschaltung von einem Kondensator und einer Spule wird über einen Relaiskontakt
kurzzeitig eine Spannung von U = 12 Volt gelegt. Die Kapazität des Kondensators beträgt C = 9,4 μF,
die Induktivität der Spule mit Eisenkern beträgt L = 52 mH. Der Spulenwiderstand liegt bei R = 2,6 Ohm.
Ein Rechteckgenerator steuert die Basis des Transistors BD241C an. Das Relais im Kollektorzweig wird
damit ein- und ausgeschaltet und sorgt für die periodische Spannungsversorgung des Kondensators. Ist
das Relais ausgeschaltet entlädt sich der Kondensator über die parallel geschaltet Spule.
Der Kondensator zeigt den folgenden zeitlichen Spannungverlauf:
Die 12 Volt-Spannung liegt am Kondensator für ca. 58 Millisekunden (ms). Nach dem Umschalten des Relais
beginnt die rasche Entladung des Kondensators über die Spule, der Strom in der Spule fließt weiter und
lädt den Kondensator mit negativer Spannung von etwa 10 V auf. Weitere Entladungen und Aufladungen er-
folgen mit stark abnehmender Amplitude. Es handelt sich also um einen stark gedämpften Schwingungsver-
lauf, der nach ca. 50 ms abgeklungen ist.
Um den Stromverlauf während der Entladung des Kondensators zu oszillografieren wird ein Messwiderstand
zwischen Spule und Masse eingelötet. Als Messwiderstand mit einem sehr niedrigen Ohmwert kommt eine
12V-Halogenglühbirne zum Einsatz. Der Kaltwiderstand beträgt RG = 0,6 Ohm.
Wie aus dem Oszillogramm ersichtlich, zeigt auch der Entladungstrom i(t), siehe Kanal CH2, ein gedämpfte
Schwingung. Die Anfangsbedingungen zum Zeitpunkt t = 0 sind für die Kondensatorspannung u(0) = U0 und
für den Strom i(0) = 0 . Die Abklingzeiten sind für beide Verläufe gleich.
Die mathematische Behandlung einer gedämpften elektrischen Schwingung erfolgt an einem Ersatzschaltbild.
Die Spule wird mit einer Reihenschaltung aus der Induktivität L und dem ohmschen Spulenwiderstand R
nachgebildet. Der Kondensator mit der Kapazität C soll verlustlos sein.
Das einfache Ersatzschaltbild sieht wie folgt aus:
Nach der Maschenregel gilt im geschlossenen Stromkreis:
Wird die GL1 differenziert erhält man
Am Kondensator lautet die Beziehung zwischen der Kapazität C, der Spannungsänderung
duc/dt und dem Strom i:
Nach Einsetzen von GL3 in GL2 folgt:
Wird GL4 durch L dividiert, erhält man eine lineare Differentialgleichung (DGL):
Die beiden Koeffizienten erhalten die folgenden Namen:
Die Dämpfungskonstante δ und die Resonanzfrequenz ω0 für den ungedämpften
Fall sind wie folgt definiert:
Die Eigenfrequenz ωe des vorliegenden Schwingkreises berechnet sich aus:
Damit geht GL5 über in die Formel für den gedämpften Schwingkreis. Die DGL lautet:
Die Lösung für den Stromverlauf und dem Spannungsverlauf vom Zeitpunkt t = 0 an lauten:
Mit dem Programm GNUPLOT können mit Hilfe einer Programmiersprache mathematische
Formeln grafisch dargestellt werden. Eine Beschreibung von GNUPLOT kann im Internet
nachgelesen werden.
Die zeitlichen Verläufe von Strom und Spannung werden demnächst hier eingefügt.
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